Fixation d'habillage bois pour escalier en béton

Bonjour

J'ai chez moi un escalier encore en béton brut. Les précédents proprios nous ont laissé l'habillage qu'ils avaient prévu. Malhereusement, je n'ai aucune idée de comment le fixer.
L'image jointe montre une vue latérale d'un habillage de marche posée sur une de celles-ci.
La couche agglo fait 17mm, la couche bois fait 14mm.
Il y a 9 mm entre le fond de la marche et la rainure de la contre marche.
J'avais pensé à mettre des pattes métalliques en équerres sur l'arrière de la marche. Sachant que ce type de pattes fait généralement 2mm d'épaisseur, est-il nécessaire de fraiser l'agglo pour que la patte se retrouve "moulée"?

Avez-vous d'autres idées de fixations?